Category Archives: mathématiques

Villani – Image de pensée

“Face à un nouveau problème de mathématiques, l’écriture et le dessin aident à canaliser, à fixer et à mettre en forme les idées vagues et fugitives. Dans ce document de travail, j’explore des pistes pour résoudre un problème qui mélange géométrie, analyse et probabilités : il s’agit, en termes techniques, de détecter la courbure de Ricci au travers de la courbure du cône associé à un espace métrique mesuré, en examinant le comportement de certaines intégrales non linéaires de la densité le long de trajectoires non linéaires. Ceci est un prolongement de mes travaux sur la géométrie des espaces métriques non lisses, en collaboration avec John Lott (2009). L’apparente complexité de la page n’est qu’un pâle reflet des idées qui s’entrechoquent quand on est plongé corps et âme dans un problème – un des moments les plus intenses de la vie d’un chercheur.”

Cédric Villani, dans Images de pensée, Marie-Claude Caraës et Nicole Marchand-Zanartu, RMN, 2011.

Le théorème de Jordan

Les quatre mystères du monde

Le premier mystère du monde est celui de la nature des lois de la physique. On pense à une structure rayonnant à partir d’un point unique, point de départ dont la seule caractéristique perceptible est une symétrie absolue, et cette symétrie se dilue et se dissipe au fur et à mesure que l’univers se révèle à l’observateur humain. Le deuxième mystère est celui de la vie. La structure symétrique de la matière physique, se dissipant, évolue vers un autre type de structure, condensée en îlots de réalité dans l’exponentielle immensité des potentialités.

Le troisième mystère réside dans le rôle du cerveau. Une masse de matière organique, qui s’est développée accidentellement et apparemment amorphe, est capable, en suivant des voies dictées par la physique, de sélectionner une réponse adéquate dans un ensemble doublement exponentiel de possibilités (peut-être imaginaires ?).

La seule manière de représenter l’une ou l’autre de ces trois structures dans un format que l’esprit (ou le cerveau ?) humain puisse appréhender est de construire des modèles mathématiques.

Pratiquement tout ce que nous voyons en mathématiques aujourd’hui a évolué sous l’influence du premier de ces trois mystères. Les mathématiciens cherchent toujours et encore la symétrie ultime de l’univers rapportée à l’entendement humain. Mais rien de tel n’a jamais été à même d’élucider les structures de la vie et de l’esprit (ou du cerveau).

Et voici qu’apparaît le quatrième mystère, celui de la structure mathématique. Pourquoi et comment apparaît-elle ? Comment pouvons-nous la modéliser, et comment le cerveau parvient-il à l’élaborer, à partir du chaos des inputs externes ?

Misha Gromov, dans Les Déchiffreurs. Voyage en mathématiques, Paris, Belin, 2008.

Stanislas Dehaene vs Alain Connes

France Culture, “Croisements”, 28 août 2011

Stanislas Dehaene est psychologue cognitif et neuroscientifique, professeur au Collège de France et directeur de l’Unité de Neuroimagerie Cognitive à l’INSERM.

Alain Connes est mathématicien, professeur au Collège de France et à l’Institut des hautes études scientifiques.

Stanislas Dehaene : On appelle intuition un sens très souvent non conscient, inaccessible à l’introspection, extrêmement automatisé, qui nous donne une réponse sans avoir les moyens métacognitifs de savoir d’où vient cette réponse. Dans ce sens-là, la compréhension des nombres, le fait de savoir quel nombre est plus grand que tel autre par exemple, ou le sens de l’addition, sont des pures intuitions, c’est-à-dire qu’on a ni besoin de les apprendre ni moyen de savoir comment on fait.

Alain Connes : Lorsqu’il regarde des formules mathématiques, ce n’est pas la formule mathématique que voit le mathématicien : il fait un lien absoluement instantané avec ce qu’il a construit dans sa tête, et il n’a pu construire cette image mentale que par un acte actif, pas de manière passive. Sous la manière la plus crue, l’intuition se manifeste de la manière suivante : le mathématicien dit « Il y a quelque chose là », il sent qu’il y a quelque chose là. C’est un point de départ. Ca va le mettre en mouvement, comme un chasseur, et après il va aller voir, il va aller voir avec toute sa rationalité, tout ce qu’il peut mettre de son intelligence. Donc l’intuition là, c’est une espèce de mise en mouvement. Après, l’intuition se manifeste tout à fait autrement, elle se manifeste par un sens esthétique. Une des armes qu’a le mathématicien c’est le pouvoir des analogies. Vous allez avoir un domaine des mathématiques qui va se dérouler d’une certaine manière, il y a une machine qui va exister que vous aurez en image mentale, et puis vous allez rencontrer un autre problème qui a priori n’a rien a voir avec l’autre problème, mais vous allez vous apercevoir petit à petit qu’il y a un certain nombre de choses qui ont l’air de marcher de la même manière, mais elles marchent pas exactement de la même manière, elles marchent de manière différente.

Stanislas Dehaene : Lorsque nous pensons à une addition, l’addition nous déplace vers les grands nombres. Lorsqu’on ajoute un nombre positif, eh bien ce déplacement va se traduire par une action des aires cérébrales qui commande les mouvement des yeux vers la droite, parce que dans notre culture les grands nombres vont vers la droite. Et inversement, lorsqu’on pense à une soustraction, on réutilise les circonstances du cerveau qui nous font déplacer les yeux vers la gauche. Alors si vous avez quelqu’un qui est dans le noir et que vous lui demandez de générer des nombres aléatoires, eh bien vous pouvez deviner à quel nombre il va penser, parce que s’il bouge les yeux en haut à droite il pense à un grand nombre et s’il bouge les yeux en bas à gauche il pense à un petit nombre.

Stanislas Dehaene : L’algèbre, c’est le sens du déplacement (c’est l’étymologie). Eh bien c’est un déplacement littéral dans les images mentales du cerveau. Si je vous demande de résoudre 6-7x = 0, le 7x on a le sentiment qu’on va le mettre de l’autre côté du signe égal, on l’emmène à droite. On peut le voir comme un déplacement mental, un déplacement cérébral.

Alain Connes : La vraie compréhension d’une démonstration c’est quand elle est zippée dans quelque chose qui n’a plus de temps. Il n’y a plus d’épaisseur temporelle. C’est le moment où l’objet de pensée n’existe plus au niveau du temps mais au niveau de l’image mentale. L’algèbre est un déroulement dans le temps.

Alain Connes : Il y a la première période dans laquelle le mathématicien doit ne pas trop se préoccuper du détail, suivre son intuition et suivre cette capacité de pouvoir rêver. Qu’est-ce que ça veut dire ? Être capable de créer non seulement des images mentales, mais ensuite être capable de deviner, de la même manière qu’on devine le paysage. C’est rêver en ce sens-là, c’est un rêve éveillé. En étant capable de donner des noms à des choses non encore capturées, on les fait déjà exister. En les faisant exister elles crééent un pouvoir attractif qui fait que le cerveau se met en mouvement. Il y a certaines idées mathématiques qui ont cette capacité extraordinaire : elles sont des générateurs de mouvement. L’idée par elle-même met le cerveau en mouvement, lui permet de rêver et d’accéder à des régions qu’il ne connaît pas.

Stanislas Dehaene : Cette période d’incubation, peut-être peut-elle survenir dans le sommeil. On sait que le sommeil est une période active, où les idées sont mises en collision. Il y a une très belle démonstration, parue dans la revue Nature, d’un exemple très concret de résolution mathématique pendant le sommeil. Avant le sommeil, les personnes pratiquaient un exercice mathématique sans se rendre compte qu’il y avait un raccourci extrêmement direct mais qui n’était pas évident. La plupart d’e,tre elles ne le voyaient pas. Le lendemain matin, deux tiers d’entre elles n’avaient pas la solution.

Alain Connes : J’étais un jour à la campagne, j’avais pas mes bouquins avec moi. C’était le soir, je travaillais, je me dis que le signe devant ce terme qui est relié à la gravitation, c’est pas le bon. J’ai commencé à faire les calculs moi-même, j’étais fébrile, j’avais pas ce qu’il fallait pour vérifier. A 2h du matin je suis tombé dans un demi sommeil. J’ai fait un rêve. J’avais mon prof de maths sup qui me disait prenez votre voiture, et il me disait démontez-la. Alors je prenais la voiture et je la démontais en tout petits morceau. Après il me disait remontez-la, donc je remontais la voiture et il disait mettez en route en regardez si elle roule dans la bonne direction.

Stanislas Dehaene : Une des visions importantes pour comprendre le cerveau est la notion que le cerveau pour produire du sens doit comprimer l’information. Les mathématiques sont l’épitome de ça. Comprimer l’information, ça veut dire que lorsqu’on a de très nombreuses variables et que l’on trouve une loi, la loi résume et comprime en quelques symboles la totalité de tout ce qu’on peut extraire comme régularités. Les mathématiques sont les championnes de ça. Il y a un rôle très important de la notation. La création de notations très compactes permet au cerveau de manipuler des objets très lourds potentiellements mais qui ont été réduits à une forme extrêmement compacte.

Alain Connes : Il y a un énoncé de la mécanique quantique : la réalité est en fait la superposition de tous les possibles imaginaires. D’habitude quand on parle de la réalité on a une explication classique. La merveille de la mécanique quantique c’est que tous les possibles ont un rôle. Dans le calcul des probabilités ordinaires on donnerait une probabilité à chacun des possibles. Dans la mécanique quantique, à chaque possible est associé un nombre complexe de module 1. On appelait ça avant les nombres imaginires. Ces nombres imaginaires sont sur un cercle ; à chaque possible on associe un nombre imaginaire sur un cercle ; la réalité c’est la somme de tous ces nombres imaginaires. La physique fonctionne en tenant compte de tous les possibles.

Stanislas Dehaene : Tout le monde s’accorde sur l’existence d’un monde extérieur qui est organisé, à moins d’être solipsiste. Mais est-ce qu’il est vraiment organisé suivant des lois mathématiques ou bien est-ce que les lois mathématiques sont le fait de notre espèce, de notre cerveau, avec ses propres limitations ? Je me demande toujours si vous pensez que le mathématicien a des limites représentationnelles et si ça peut à un moment arrêter l’entreprise mathématique.

Mathématiques modernes

Mathématiques Modernes – A + B = C

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Objets mathématiques

http://www.ateliers.nplusun.org/blog/

Franco fait des maths

Franco & le Tout Puissant OK Jazz – Anduku lutchuma

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√2

Benoît Rittaut, maître de conférence à l’université Paris-XIII, est l’auteur du Fabuleux destin de la √2. Son site est plein d’enseignements. Sa conférence sur ce nombre extraordinaire est en accès libre à la Cité des Sciences et de l’Industrie, où se trouvent également plusieurs cycles consacrés aux mathématiques et au cerveau.

à propos de recherche, par wikipédia

Il est faux de croire que la recherche mathématique se limite à la démonstration mécanique de théorèmes. L’une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d’un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d’un objet (dans notre exemple, ce serait la notion d’espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines, … Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d’étude par lui-même. Dans certains cas, l’identification d’objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu’on pensait ou espérait être vraies (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d’amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l’étude des surfaces (donc des objets en dimension 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser ce qui aujourd’hui est connu sous le nom de difféomorphisme d’Anosov, une transformation possédant d’intéressantes propriétés dynamiques.